Trong
toán học,
1 + 1 + 1 + 1 + ⋯, còn được viết làlà một
chuỗi phân kì, nghĩa là dãy các
tổng riêng không hội tụ về một
giới hạn trong tập
số thực. Dãy 1n có thể được coi là một
chuỗi hình học với
công bội bằng 1. Không như các chuỗi hình học với công bội là
số hữu tỉ, (ngoại trừ
−1), nó không hội tụ trong tập số thực lẫn trong tập
số p-adic với
số nguyên tố p. Trong trường hợp của
trục số thực mở rộngTrong khi tổng n0 xuất hiện trong
vật lý, nó đôi khi được coi là
sự chính quy hóa hàm zeta, bởi giá trị của
hàm zeta Riemann tại s = 0Tuy nhiên hai biểu thức trên không có nghĩa tại không, ta có thể sử dụng
thác triển giải tích của hàm zeta RiemannSử dụng công thức này cùng với Γ(1) = 1 ta đượctrong đó khai triển chuỗi lũy thừa của ζ(s) gần s = 1 có nghĩa vì ζ(s) có một cực đơn giản với
thặng dư một ở đó. Theo nghĩa này 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = ζ(0) = −1/2.
Emilio Elizalde từng trình bày một giai thoại về thái độ với chuỗi này:Trong một khoảng thời gian ngắn hơn một năm, hai nhà vật lý tài ba,
A. Slavnov và
F. Yndurain, chủ trì các seminar tại Barcelona, về những vấn đề khác nhau. Thực sự đáng ngạc nhiên, trong cả hai hội thảo, tại một thời điểm nào đó người thuyết trình nói với khán giả rằng: 'Như mọi người đều biết, 1 + 1 + 1 + ⋯ = −1/2.' Có lẽ ý muốn nói: Nếu bạn không biết điều này, không có lý do gì để tiếp tục nghe.
[2]